Các phần tử, Ký hiệu Set-Builder, Bộ giao nhau, Sơ đồ Venn
Đặt Tổng quan
Về mặt toán học, tập hợp là một bộ sưu tập hoặc danh sách các đối tượng.
Bộ không chỉ bao gồm các số, nhưng có thể chứa bất kỳ thứ gì bao gồm:
- thức ăn trong tủ lạnh của bạn;
- các hành tinh trong hệ mặt trời;
Mặc dù các bộ có thể chứa bất kỳ thứ gì, chúng thường đề cập đến các số phù hợp với một mẫu hoặc có liên quan theo một số cách như:
- thiết lập số dương ngay cả dưới 10: (0, 2, 4, 6, 8);
- tập hợp các yếu tố cho số 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).
Đặt ký hiệu
Các đối tượng trong tập hợp được gọi là các phần tử và ký hiệu hoặc quy ước sau được sử dụng với các tập hợp:
- Các chữ in hoa đơn được sử dụng để xác định các tập hợp - chẳng hạn như J, E hoặc F ;
- Chữ thường hoặc số được sử dụng cho các thành phần của một tập hợp;
- Các dấu ngoặc nhọn {} biểu thị một danh sách các phần tử trong một tập hợp;
- Dấu phẩy được sử dụng để phân tách các phần tử đã đặt.
Vì vậy, ví dụ về ký pháp đặt sẽ là:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
E = {0, 2, 4, 6, 8};
F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};
Thứ tự và lặp lại thành phần
Các phần tử trong một bộ không cần phải theo bất kỳ thứ tự cụ thể nào để tập J ở trên cũng có thể được viết như sau:
J = {saturn, jupiter, neptune, uranus}
hoặc là
J = {neptune, jupiter, uranus, saturn}
Các yếu tố lặp lại cũng không thay đổi tập hợp, vì vậy:
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune}
và
J = {jupiter, saturn, uranus, neptune, jupiter, saturn}
là cùng một bộ bởi vì cả hai chỉ chứa bốn yếu tố khác nhau: sao Mộc, saturn, uranus, và neptune.
Bộ và Dấu ba chấm
Nếu có một số lượng vô hạn - hoặc không giới hạn số phần tử trong một tập hợp, dấu ba chấm (...) được sử dụng để cho biết rằng mẫu của tập hợp tiếp tục mãi mãi theo hướng đó.
Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên bắt đầu ở số không, nhưng không có kết thúc, vì vậy nó có thể được viết dưới dạng:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Một tập hợp số đặc biệt khác không có kết thúc là tập các số nguyên. Vì các số nguyên có thể là dương hoặc âm, tuy nhiên, tập hợp sử dụng dấu ba chấm ở cả hai đầu để cho biết rằng tập hợp luôn đi theo cả hai hướng:
{ … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
Sử dụng khác cho hình elip là điền vào giữa một tập hợp lớn như:
{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}
Dấu ba chấm cho thấy rằng mẫu - thậm chí chỉ số - tiếp tục qua phần không được viết của tập hợp.
Bộ đặc biệt
Các bộ đặc biệt được sử dụng thường xuyên được xác định bằng các ký tự hoặc ký hiệu cụ thể. Bao gồm các:
- Ø hoặc {} - tập rỗng - tập hợp không chứa phần tử nào ;
- U - tập hợp chung - tập hợp chứa tất cả các phần tử liên quan đến định nghĩa tập hợp cụ thể ;
- Z - tập hợp tất cả các số nguyên: Z = { … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … };
- N - số tự nhiên (số nguyên dương): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }.
Phương thức mô tả so với mô tả
Viết ra hoặc liệt kê các phần tử của một tập hợp, chẳng hạn như tập hợp các hành tinh bên trong hoặc trên mặt đất trong hệ mặt trời của chúng ta, được gọi là ký hiệu danh sách hoặc phương thức phân cấp .
T = {thủy ngân, venus, đất, mars}
Một tùy chọn khác để xác định các phần tử của tập hợp là sử dụng phương thức mô tả, sử dụng một câu lệnh hoặc tên ngắn để mô tả tập hợp như:
T = {hành tinh trên cạn}
Ký hiệu Set-Builder
Một cách thay thế cho các phương thức mô tả và danh sách là sử dụng ký hiệu bộ dựng , là một phương thức viết tắt mô tả quy tắc mà các phần tử của bộ theo sau (quy tắc làm cho chúng thành viên của một tập hợp cụ thể) .
Ký hiệu trình tạo tập hợp cho tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0 là:
{x | x ∈ N, x > 0 }
hoặc là
{x: x ∈ N, x > 0 }
Trong ký pháp thiết lập, ký tự "x" là một biến hoặc trình giữ chỗ, có thể được thay thế bằng bất kỳ chữ cái nào khác.
Ký tự viết tắt
Ký tự viết tắt được sử dụng với ký hiệu bộ tạo hình bao gồm:
- Thanh dọc hoặc dấu hai chấm ( | hoặc : ký tự) - là các dấu tách đọc như vậy;
- Chữ thường epsilon ( ∈ ký tự) - được đọc như là một phần tử của;
- Ký tự - - được đọc không phải là thành phần của.
Vì vậy, {x | x ∈ N, x > 0 } sẽ được đọc là:
"Tập hợp tất cả x , sao cho x là phần tử của tập hợp các số tự nhiên và x lớn hơn 0"
Bộ và sơ đồ Venn
Biểu đồ Venn - đôi khi được gọi là biểu đồ tập hợp - được sử dụng để hiển thị mối quan hệ giữa các phần tử của các tập hợp khác nhau.
Trong hình trên, phần chồng chéo của biểu đồ Venn hiển thị giao điểm của các tập E và F (các phần tử chung cho cả hai tập hợp).
Dưới đây được liệt kê ký hiệu bộ dựng cho hoạt động (ngược "U" có nghĩa là giao lộ):
E ∩ F = {x | x ∈ E , x ∈ F}
Đường viền hình chữ nhật và chữ U ở góc của biểu đồ Venn đại diện cho tập hợp chung của tất cả các phần tử đang được xem xét cho hoạt động này:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}